Théorie de Chern-Weil et tore non-commutatif

Details

Supervisors

Bieliavsky, Pierre

Faculty

Faculté des sciences

Degree label

Master [120] en sciences mathématiques, à finalité approfondie

Abstract

frL’effet de Hall quantique est un effet quantique macroscopique, une certaine quantité physique, qui devrait être continue, est quantifiée : au lieu de dépendre linéairement du champ magnétique, des plateaux apparaissent. Ce phénomène mystérieux est modélisé par un papier de Bellissard, van Elst et Schulz-Baldes dans le secteur entier, c’est-à-dire quand les plateaux prennent des valeurs entières. La conductance y est modélisée par la classe de chern d’un projecteur sur le tore non-commutatif. Ce mémoire propose de donner une introduction au cadre mathématique de ce modèle, en traitant deux points centraux : la théorie de Chern-Weil et le tore non-commutatif. La théorie de Chern-Weil permet d’étudier la topologie d’un fibré avec des outils géométriques. Elle construit l’algèbre des classes caractéristiques, qui est une sous-algèbre des classes de cohomologie de l’espace de base, à partir d’une courbure de l’espace total. Plus intuitivement, en munissant un fibré d’une courbure, qui est une donnée géométrique supplémentaire, la théorie de Chern-Weil permet de construire des invariants topologiques propres au fibré. Et ces invariants, ainsi que leur construction, ne dépendent pas du choix de la courbure, ce qui révèle l’influence de la topologie d’un fibré sur sa géométrie. Cela relie topologie et géométrie dans la lignée du théorème de Gauss-Bonnet. La première partie est donc centrée sur ce résultat, en commençant par introduire les fibrés du point de vue moins commun et plus géométrique des fibrés principaux. La seconde partie aborde la géométrie non-commutative, qui étend la notion d’espace topologique. Pour ce faire, elle commence par remplacer l’étude d’un espace topologique par l’étude d’une algèbre commutative associée, l’algèbre des fonctions continues. Puis on étend notre étude à des algèbres d’opérateurs qui ne commutent plus nécessairement. Ces algèbres ne correspondent plus à des espaces topologiques mais plutôt à une déformation de ceux-ci. Cette seconde partie présente une description originale du tore non-commutatif, à partir de la quantification de Weyl. Elle donne une formule pour associer aux fonctions de la mécanique classique l’opérateur de la mécanique quantique dans le cas de la particule libre. On justifie rigoureusement cette formule en restreignant à l’espace de Schwartz puis en étendant par densité. On remarque ensuite que cette déformation du plan descend naturellement sur le tore, pour donner le tore non-commutatif.